CodeChef July Challenge 2018の問題: Pizza Delivery (Code: PDELIV)
問題ページ: https://www.codechef.com/JULY18A/problems/PDELIV
問題概要
一直線上に個のピザ屋と人のお客がいて、番目のピザ屋は、番目のお客はにいる。
番目のピザ屋で1枚注文する場合、ベースの値段に加えて、ピザ屋の位置からお客の位置まで配達するのに追加料金がかかる。
また、各お客には注文したくないピザ屋が個存在する。
この状況で、人のお客がピザ1枚注文するための、最小料金はそれぞれいくらか?
制約
はそれぞれ異なる座標
解法
Li Chao Tree上で各お客について、線分の最小値を計算すると解ける。
まず、お客に対して解くべき式は以下のように変形できる。(はお客が注文できるピザ屋のインデックス集合)
とおけば、Convex Hull Trickで解ける問題になる。
この問題では、各お客について注文したくないピザ屋が存在するため、これをうまく扱う必要がある。
これは下の図のように、各ピザ屋の直線について、そのピザ屋を注文したくないお客の座標だけその直線を追加しない(つまり、注文できないお客についてとなるように直線を切った線分にする)ことで解決できる。
そして、これらの線分の最小値はLi Chao Tree上で計算することができる。
smijake3.hatenablog.com
追加する線分は、各ピザ屋について、注文できないお客の人数だけ行うことになるため、全体で高々本になる。
しかし問題の制約上、についてとなるケースが存在するが、同じ座標で同じピザ屋を注文できるかが異なるとダメなので、複数のお客を同じ座標で扱うことを回避する必要がある。
そこで、Li Chao Tree上で同じ座標の複数のお客を区別して扱い、それぞれに対し線分を追加するしないを決めるようにする。つまりとなる個の座標をLi Chao Treeで管理する。このように同じ座標が複数存在する場合でも、Li Chao Tree上で正しく扱える。
最後に、全ての線分を追加したら、各お客について料金の最小値を計算すればよい。
実装
とすると、計算量は
提出コード (PyPy2): https://www.codechef.com/viewsolution/19144188
N, M = map(int, raw_input().split()) # Li Chao Tree N0 = 2**(M-1).bit_length() data = [None]*(2*N0+1) def f(line, x): p, q = line return p*x + q def _add_line(line, k, l, r): m = (l + r) // 2 if data[k] is None: data[k] = line return lx = X[l]; mx = X[m]; rx = X[r-1] left = (f(line, lx) < f(data[k], lx)) mid = (f(line, mx) < f(data[k], mx)) right = (f(line, rx) < f(data[k], rx)) if left and right: data[k] = line return if not left and not right: return if mid: data[k], line = line, data[k] if left != mid: _add_line(line, 2*k+1, l, m) else: _add_line(line, 2*k+2, m, r) def add_line(line, a, b): L = a + N0; R = b + N0 a0 = a; b0 = b sz = 1 while L < R: if R & 1: R -= 1 b0 -= sz _add_line(line, R-1, b0, b0+sz) if L & 1: _add_line(line, L-1, a0, a0+sz) L += 1 a0 += sz L >>= 1; R >>= 1 sz <<= 1 def query(k): x = X[k] k += N0-1 s = 1e30 while k >= 0: if data[k]: s = min(s, f(data[k], x)) k = (k - 1) // 2 return s # F[i]: ピザ屋iで注文しないお客リスト F = [[] for i in xrange(N)] C = [] C0 = [0]*M X = [10**10]*N0 PM = [map(int, raw_input().split()) for i in xrange(N)] for i in xrange(M): pp = map(int, raw_input().split()) # c_i c = pp[0] # 各d_ij for e in pp[2:]: F[e-1].append(i) C.append((c, i)) C0[i] = c # c_i をソートする (元のインデックスを取得できるようにしておく) MP = [None]*M C.sort() for i, (c, j) in enumerate(C): X[i] = c # i番目の座標はc MP[j] = i # j番目のお客はソートしてi番目 # 各ピザ屋ごとに、注文しないお客を飛ばすように直線を切りながら線分追加していく for i, (s, p) in enumerate(PM): # お客リストを座標に変換してソート Fi = map(MP.__getitem__, F[i]) Fi.sort() Fi.append(M) # f(x) = -2*s*x + p+s**2 を追加 prv = -1 line = (-2*s, p+s**2) for e in Fi: if prv+1 < e: add_line(line, prv+1, e) prv = e # 各お客ごとに最小コストを計算 ans = [] for i in xrange(M): ans.append(query(MP[i]) + C0[i]**2) print("\n".join(map(str, ans)))