1/15の3時から1/16の3時まで行われていたFHCのRound1に参加した。
とりあえず90 pointsとれたので通過。
10 points: Pie Progress
毎日異なる個のパイを売る店がある。そして、同日に買ったパイの数だけコストがかかる( pies買えばかかる)。その中で、日間毎日パイを食べるためのコストを最小にするという問題。
いろいろ考えて、Segment木で殴れば良さそうという結論になって殴ったら死んだ。
(出力結果に0があってあっ...(察し)という感じになってた)
35 points必要だったので、この問題を落とすとやばいかも、みたいな感じで他3問を解くことにした。
25 points: Fighting the Zombies
specialist spell-castersがいて、二次元平面上の任意の実数の半径内(境界含む)のゾンビを移動できるspellと一辺の正方形の内側(境界含む)のゾンビを撃退できるspellを使える。これらのspellを一回使って撃退できるゾンビを最大化する問題。
最初は愚直に3点から円を求めて計算しようと思ったけど、精度含めて計算面倒くさそうと思っていろいろ考察してた。2,3時間くらいで解けた。
円の半径や座標は任意の実数という点を踏まえ考察していくと、一辺の2つの正方形で包含できるゾンビの数を最大化する問題として考えられることに気がついた。
例えば、2つの正方形が重なっていない場合は、片方の正方形を包含して、もう片方の正方形が外側にあるような円が存在する。また、2つの正方形が重なっている場合は、円が2つの正方形の辺の交点を通るように考えれば、正方形上のゾンビを全て正方形上に移動することができる。
二次元区間 が包含するゾンビの座標の集合をsetで前もって計算しておけば、で計算できる。
25 points: Manic Moving
の街、の道路がある地域で、個の物をある場所からある場所まで(番目の物はからまで)運ぶという問題。制約として、個の物を順番に届けること、一度に持てる物は2個まで(番目の物と番目のもの)がある。この時、距離のコストの最小を求める問題。
方針がすぐ思いついて解けた。
方針は、Warshall-Floyd法を 使って街間の距離を計算しておき、番目の物を持ってに到着するかしないかでコストが最小となるように計算を進めていく感じ。
において、番目の物を持たない状態での最小コストを、持った状態での最小コストをとする。この時、である。
また、をとの間の最短コストとする。このとき、
この時のが答え。計算量は。
40 points: Beach Unbrellas
ビーチで1mごとに箇所傘を立てられる場所がある。そこにグループがいて、各々半径mの傘を立てようとしている。傘どうしがかぶらないように立てた時、何通りの立て方があるのかをで割って出力する問題。
この問題は頑張って計算した。計算の仕方でハマって5時間くらいかかった。
この時、mの区間からはみ出る傘が存在しない場合、片方はみ出る場合、両方はみ出る場合にわけて計算した。
以下で出てくるは以下のように定義する。
(i) はみ出る傘が存在しない場合
各傘を、mの区間にはみ出ないように配置できる場合、被らないように立てられる候補は箇所ある。これをとする。
この候補に個の傘を立てる全ての通りを考えればよいのでで計算できる。
(ii) 片方はみ出す場合
各傘について考えていく。ここで、半径のうちはみ出すとする。
この時の通り数は、で計算できる。対照の場合も考え、全ての場合は以下のように計算できる。
前もって累積和を計算しておけばで計算できる。
(iii) 両方はみ出す場合
2つの傘について考えていく。ここで、半径のうち、半径のうちはみ出すとする。
この時の通り数は、で計算できる。よって、全ての場合は以下のように計算できる。
前もって累積和を計算し、その累積和を計算しておけばで計算できる。
答えである全ての通り数はこれらの和になる。
ここでの場合に、傘一個で両方はみ出るパターンが存在することに注意しないといけない。しかし、の場合はどこでもおけるので答えとしてを出力するだけでよい。
計算量は、階乗の累積和計算も含めてで計算できる。